Dr. STRUL Salomon DANSAERTLAAN, 164 1702 Groot-Bijgaarden BELGIUM
Hypothèses : Soient x, y, z et n des variables en nombres entiers, naturels positifs
Énoncé du Théorème:
Pour tour x, y, z, n entiers, la relation suivante n’admet pas de solution entière si n>2
xn + yn = zn (1)
Préliminaires.
A. Soient x, y, et z premiers entre eux. Cela ne réduit en rien à la généralité de l’énoncé du théorème. En effet, si x et y ne sont pas premiers entre eux, ils ont un diviseur commun. En divisant les deux membres par le diviseur commun, on retrouve le même type de relation. Supposons sans nuire à la généralité que z > y > x
A. Une première obligation évidente est que z < x+y (règle du « triangle » à n dimensions)
En effet : Si on exclut les solutions triviales, (x=0, y=0, z=0), ou (x=0, y=w, z=w) quelques soit n, le membre de droite peut s’écrire (binôme de Newton):
xn + yn < (x + y)n = xn + Cn1xn-1y + Cn2xn-2y2 + … + Cnn-1xyn-1 + yn (2)
Le premier et le dernier terme se simplifiant dans les deux membres, quelque soit x et y, cette relation est vérifiée. Donc quelque soient x et y différents de 0 et w la relation z < x+y est vraie. De même z > x et z > y
la relation (1) peut s’écrire :
zn – yn = xn avec z > y, y>x et z-y<x (3)
(z – y) (zn-1 + zn-2y + zn-3y2 + …+ z2yn-3 + z yn-2 +yn-1) = xn (4)
Un des x au moins est divisible par z – y car x>z-y. Donc tous les x sont divisibles par z – y !
Remarque: x ne peut être premier car divisible par z-y !
Néanmoins on n’a jamais fait l’hypothèse que x ou y ou z soient premiers ! Donc z-y doit valoir 1 si x est premier ou bien z-y = x ce qui contredit l’hypothèse puisque x+y > z
Soit le cas ou x n’est pas premier. Donc la deuxième parenthèse de gauche est aussi divisible par z – y. Pour que la deuxième parenthèse de gauche soit divisible par z – y il faut qu’en remplaçant z par y, on obtienne 0 (zéro) (caractère de divisibilité d’un polynôme – 4ème d’Athénée).
Or en remplaçant les z par des y, cette parenthèse devient n yn-1. Cette parenthèse ne s’annule que pour y = 0, soit la solution triviale !
Donc unique solution pour la conjecture de Fermat la solution triviale !
Cas particulier très important : z-y=1 dans quel cas le membre de droite est d’office divisible par 1 !
Examinons ce cas à part ! z-y=1 donc z=y+1 la relation initiale (1) devient xn + yn = (y+1)n (5)
mais yn = (y+1)n – xn soit yn = (y+1-x)((y+1)n-1+ (y+1)n-2x+(y+1)n-3x2…(y+1)xn-2+xn-1) (6)
On recommence le même raisonnement que pour la relation 1. le membre de droite est divisible par y+1-x donc le membre de gauche également. Seule solution possible qui divise complètement les deux membres c’est la solution où y+1-x = 1. De retour à la solution triviale est y=x ce qui contredit l’hypothèse ! Donc (5) n’admet aucune solution.
Reprenons la relation (1) xn + yn = zn
soit z=x+k puisque z>x k est fatalement premier avec x sinon z serait divisible par leur diviseur commun et y aussi ce qui contredit l’hypothèse.
On réécrit (1) xn + yn = zn qui devient xn + yn = (x+k)n . (7)
On développe cette relation des deux membres :
xn + yn = (x + k)n = xn + Cn1xn-1k + Cn2xn-2k2 + … + Cnn-1xkn-1 + kn . On simplifie les xn des deux côtés et on retrouve la relation : yn = Cn1xn-1k + Cn2xn-2k2 + … + Cnn-1xkn-1 + kn . On peut mettre en évidence k dans le deuxième membre et on retrouve la relation remarquable:
yn = k (Cn1xn-1 + Cn2xn-2k + … + Cnn-1xkn-2 + kn-1 ). (8) Au moins un y est divisible par k car k<y mais k et y sont premiers entre eux ! sauf si k=1. Mais ce cas a déjà été exclu.
Donc il n’y a pas de solution entière pour n>2 pour la formule de Fermat
Cas particulier de Pytagore ou n=2
En reprenant le raisonnement, la relation (3) s’écrit : (z – y) (z + y) = x2
Si on écrit x= k (z – y), alors z + y = k² (z – y) ce qui donne des solutions :
z × (1-k²) = – (1 + k²) × y ou z = (k² + 1) / (k² – 1) × y (k >1)
x = 2k /(k²-1) × y
Si y = Multiple de (k²-1), il y a une double infinité de solutions entières (toujours avec k>1) !
y = p × (k² – 1) x = 2 k p z = (k² + 1) × p (9)
CQFD
Donc unique solution pour la conjecture de Fermat si n>2 est la solution triviale !
2. Proposition de STRUL
Si p est entier impair, supérieur à 1, l’expression (3 × p² + 1) est toujours un multiple de 4.
Par ailleurs, (3 × p² + 1)/4 n’est jamais un cube parfait !
En effet, si p=2s+1, alors (3×(4s²+4s +1)+1)/4=(12s²+12s+4)/4=3s²+3s+1
comme (s+1)³ – s³=3s²+3s+1
La différence de deux cubes parfaits n’est jamais un cube parfait (dixit Fermat !)
(x2-y2)2 + 4x2y2=(x2+y2)2
Cette identité est vraie quelque soir x et y et c’est aussi le théorème de Pythagore
On retrouve tous les nombres pythagoriciens grâce à cette formule (double infinité):
P=x2-y2 Q=x2+y2 R=2xy => P2+R2=Q2
Cette identité n’existe que pour le second degré et explique quelque part l’existence de la conjecture de Fermat !